Algunas fórmulas cerradas para productos infinitos y su relación con la función zeta de Riemann

Resumen

El principal objetivo es obtener una fórmula cerrada para los productos infinitos de la forma
\[
\prod_{n=1}^{\infty}\left(1- \frac{z^{k}}{n^{k}} \right),
\]
donde $z\in \mathbb{C}$ y $k\geq 2$. Esto nos permitirá, por ejemplo, obtener algunos productos infinitos como
\[
\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right), \quad
\prod_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n^3}\right) \quad \text{o} \quad
\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n^4}\right).
\]