La ecuación $\overline\partial$ y el teorema de Runge

Resumen

En este trabajo se recoge la relación que existe entre el teorema de aproximación de Runge y la llamada ecuación $\overline\partial$: si $\partial/\partial\bar z=(\partial/\partial x+\mathrm{i}\partial/\partial y)/2$ y $K$ es un subconjunto compacto de un abierto $\Omega\subset\mathbb{C}$, los siguientes enunciados son equivalentes:

•  Toda función holomorfa en un entorno de $K$ se puede aproximar uniformemente en $K$ por funciones holomorfas en $\Omega$.
•  Para todo $\varepsilon >0$ y toda función $f\in C^\infty_ c(\Omega)$ tal que $K\cap\operatorname{sop} f=\varnothing$ existe una solución $u\in C^\infty(\Omega)$ de la ecuación $\partial u/\partial\bar z=f$ en $\Omega$ con $\lVert u\rVert_ K<\varepsilon$.