TEMat

La conjetura de Andrews-Curtis

Alba Sendón Blanco — Sat, 08 Jul 2023 00:00:00 +0200

La conjetura de Andrews-Curtis fue propuesta por James J. Andrews y Morton L. Curtis en 1965, es originalmente algebraica y afirma que toda presentación balanceada del grupo trivial puede convertirse (a través de transformaciones de Andrews-Curtis) en la presentación trivial.

Nuestro objetivo es mostrar dos versiones diferentes de la conjetura de Andrews-Curtis, ambas con un enfoque topológico: una para complejos simpliciales finitos y otra para posets finitos. Además, estableceremos la equivalencia entre ellas.

Cuatro demostraciones de $\text{e} < (1+\frac{1}{n})^{n+1/2}$

José Manuel Sánchez Muñoz — Sat, 08 Jul 2023 00:00:00 +0200

Uno de los números reales más notables de la historia de las matemáticas es $\mathrm{e}$. Denominado número de Euler o constante de Napier, es la base de los logaritmos naturales. Posee el privilegio de tratarse de un número irracional y trascendente, y su desarrollo en serie es bien conocido. Respecto a dicho desarrollo, en este artículo se demuestra de varias formas distintas una desigualdad relacionada con esta constante. Las demostraciones tienen que ver con la manipulación de series, aplicación de las desigualdades de Hermite-Hadamard y de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, y por último con herramientas analíticas de funciones.

Recopilación de resoluciones del problema de Basilea

Vicent Navarro Arroyo — Sat, 08 Jul 2023 00:00:00 +0200

El problema de Basilea se basa en hallar si, en efecto, la suma de los inversos de los cuadrados naturales converge y, en caso afirmativo, a qué valor. Este problema fue resuelto, primero, por Euler, pero se han conseguido numerosas pruebas tras él. Recopilaremos algunas de sus demostraciones más importantes y mostraremos la versatilidad de los enfoques hacia este problema señalando el potencial de determinadas teorías (en particular, la teoría de series de Fourier), las demostraciones más insospechadas y directas, así como los puentes que se tienden entre varias áreas de las matemáticas.

Esfera homológica de Poincaré

Alejandro Omar Majadas Moure — Sat, 08 Jul 2023 00:00:00 +0200

A partir de la esfera homológica de Poincaré podemos obtener un ejemplo natural de una variedad homológica que no es una variedad topológica. Habitualmente, la esfera de Poincaré se presenta usando argumentos geométricos que emplean un dodecaedro. No obstante, nosotros enfocaremos su estudio desde un punto de vista más algebraico.

Ley de reciprocidad cuadrática y aplicaciones

Mario Pérez Maletzki — Sat, 08 Jul 2023 00:00:00 +0200

El objetivo de este trabajo es introducir todos los conceptos y teoremas necesarios para poder dar una demostración rigurosa y autocontenida de la ley de reciprocidad cuadrática y ver cómo puede ser una herramienta útil para obtener resultados tales como el problema de los dos cuadrados, el problema de determinar cuándo una ecuación en congruencias de segundo grado tiene solución, probar ciertas propiedades sobre los números primos y hasta para obtener información sobre el conjunto de ceros de ciertas ecuaciones elípticas.

Acompañamos los resultados con ejemplos elegidos para mejorar la comprensión de los mismos, donde hemos usado el programa GAP por ser muy conveniente para este tipo de matemáticas, e incluimos los códigos para que el lector pueda fácilmente comprobarlos.

Sobre las sumas de las potencias de números enteros consecutivos

Víctor Biot Domingo — Sat, 08 Jul 2023 00:00:00 +0200

La suma de las potencias de números enteros positivos es algo que siempre ha atraído a muchos matemáticos. Desde tiempos remotos, al ser humano le surge la necesidad de contar, de tener un orden, control y entendimiento sobre los fenómenos de la naturaleza. En este artículo tratamos esa misma curiosidad matemática relacionada con las sumas finitas, tratando de obtener fórmulas compactas que, de manera automática, nos den la solución a una suma cualquiera, dada una sucesión de números enteros positivos elevados a un exponente entero positivo. El método principal en el que se basa este trabajo es el conocido como sumas telescópicas. Demostramos la fórmula general, en la que la suma que se pretende obtener se halla de manera recurrente, para finalmente implementar unas breves líneas de código informático en un programa de álgebra computacional.