Publicado 28/08/2021
Palabras clave
- isoperimetric inequality,
- lattice point enumerator,
- integer lattice
Cómo citar
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Resumen
La desigualdad isoperimétrica es uno de los resultados más antiguos de las matemáticas, y puede ser sintetizada en el hecho de que las bolas euclídeas minimizan la medida de área de superficie ${\rm S}(\cdot)$ (contenido de Minkowski) entre todos los conjuntos compactos y convexos con volumen positivo prescrito ${\rm vol}(\cdot)$ (medida de Lebesgue). Admite la siguiente "versión local": para todo conjunto compacto y convexo $K\subset\mathbb{R}^n$, y todo $t\geq0$,
\[{\rm vol}(K+tB_n)\geq{\rm vol}(rB_n+tB_n),\] donde $r>0$ es tal que ${\rm vol}(rB_n)={\rm vol}(K)$ y $B_n$ denota la bola unidad euclídea (cerrada).
En esta charla discutimos y probamos un análogo discreto de la versión local de la desigualdad isoperimétrica para el enumerador de puntos de retículo ${\rm G}_n(K)=\#(K\cap{\mathbb Z}^n)$ de un conjunto acotado $K\subset{\mathbb R}^n$: determinamos los conjuntos que minimizan el funcional ${\rm G}_n\bigl(K+t[-1,1]^n\bigr)$ para cualquier $t\geq0$, entre todos los conjuntos acotados $K$ con un enumerador de puntos de retículo positivo dado. También mostramos que esta nueva desigualdad discreta implica el correspondiente resultado clásico para conjuntos compactos.