Vol. 2 (2021): Proceedings of the 3rd BYMAT Conference
Artículos

On discrete isoperimetric type inequalities

David Iglesias
Universidad de Murcia
Eduardo Lucas
Universidad de Murcia
Jesús Yepes Nicolás
Universidad de Murcia
Cover for TEMat monográficos, 2 (2021): Proceedings of the 3rd BYMat Conference

Publicado 28/08/2021

Palabras clave

  • isoperimetric inequality,
  • lattice point enumerator,
  • integer lattice

Cómo citar

Iglesias, David; Lucas, Eduardo, y Yepes Nicolás, Jesús. «On discrete isoperimetric type inequalities». En: TEMat monográficos, 2 (2021): Proceedings of the 3rd BYMAT Conference, págs. 115-118. ISSN: 2660-6003.URL: https://temat.es/monograficos/article/view/vol2-p115.

Resumen

La desigualdad isoperimétrica es uno de los resultados más antiguos de las matemáticas, y puede ser sintetizada en el hecho de que las bolas euclídeas minimizan la medida de área de superficie ${\rm S}(\cdot)$ (contenido de Minkowski) entre todos los conjuntos compactos y convexos con volumen positivo prescrito ${\rm vol}(\cdot)$ (medida de Lebesgue). Admite la siguiente "versión local": para todo conjunto compacto y convexo $K\subset\mathbb{R}^n$, y todo $t\geq0$,
\[{\rm vol}(K+tB_n)\geq{\rm vol}(rB_n+tB_n),\] donde $r>0$ es tal que ${\rm vol}(rB_n)={\rm vol}(K)$ y $B_n$ denota la bola unidad euclídea (cerrada).

En esta charla discutimos y probamos un análogo discreto de la versión local de la desigualdad isoperimétrica para el enumerador de puntos de retículo ${\rm G}_n(K)=\#(K\cap{\mathbb Z}^n)$ de un conjunto acotado $K\subset{\mathbb R}^n$: determinamos los conjuntos que minimizan el funcional ${\rm G}_n\bigl(K+t[-1,1]^n\bigr)$ para cualquier $t\geq0$, entre todos los conjuntos acotados $K$ con un enumerador de puntos de retículo positivo dado. También mostramos que esta nueva desigualdad discreta implica el correspondiente resultado clásico para conjuntos compactos.