On the connection between Hardy kernels and reproducing kernels

Resumen

Los núcleos de Hardy son conocidos por ser una herramienta útil para construir operadores acotados en los espacios $L^p(\mathbb{R}^+)$, hecho que se sigue de la desigualdad de Hardy. Además, los núcleos de Hardy han sido recientemente utilizados para construir operadores acotados en los espacios de Hardy del semiplano $H_a^p(\mathbb{C}^+)$. En este trabajo, se analizan los espacios rango de dichos operadores en $L^p(\mathbb{R}^+)$ y $H_a^p(\mathbb{C}^+)$. En particular, nos centramos en el caso $p=2$, en el que, bajo determinadas condiciones, estos espacios rango son de hecho espacios de Hilbert con núcleo reproductor. Demostramos que, en el caso de $L^2(\mathbb{R}^+)$, los núcleos reproductores de dichos espacios son a su vez núcleos de Hardy, y que en el caso de $H_a^2(\mathbb{C}^+)$, los núcleos reproductores vienen dados por extensiones holomorfas de núcleos de Hardy. Por último, mostramos cómo la transformada de Laplace conecta los escenarios real y complejo de esta familia de espacios rango.