Vol. 2 (2021): Proceedings of the 3rd BYMAT Conference
Artículos

Principles of least action in geometric mechanics

Manuel Lainz Valcázar
ICMAT-CSIC
Cover for TEMat monográficos, 2 (2021): Proceedings of the 3rd BYMat Conference

Publicado 28/08/2021

Palabras clave

  • variational principles,
  • Herglotz principle,
  • contact Hamiltonian systems,
  • Lagrangian mechanics

Cómo citar

Lainz Valcázar, Manuel. «Principles of least action in geometric mechanics». En: TEMat monográficos, 2 (2021): Proceedings of the 3rd BYMAT Conference, págs. 67-70. ISSN: 2660-6003.URL: https://temat.es/monograficos/article/view/vol2-p67.

Resumen

Un camino $c$ es una solución del principio de mínima acción de Hamilton si es un punto crítico del funcional de acción. En este caso, la acción es la integral de una función lagrangiana $L$ a lo largo de $c$. Este principio describe numerosas teorías físicas y tiene aplicaciones en otros campos (control óptimo, geometría riemmaniana). Sus soluciones tienen una interesante caracterización geométrica: son las curvas integrales de un campo Hamiltoniano en una variedad simpléctica.
Proponemos una generalización the este principio: el principio de Herglotz. Ahora, el lagrangiano depende de la propia acción, además de las posiciones y velocidades. Aquí, la acción ya no es la intregral del lagrangiano, sino la solución a una EDO no autónoma. El principio de Herglotz nos permite modelizar nuevos problemas, como algunos sistemas disipativos en mecánica (con pérdidas de energía), termodinámica y algunos problemas de contol óptimo. Este principio también está relacionado con los sistemas Hamiltonianos, pero cambiando la geometría simpléctica por geometría de contacto. Compararemos ambos principios, sus aplicaciones y las propiedades geométricas de sus soluciones.