Vol. 2 (2021): Proceedings of the 3rd BYMAT Conference
Artículos

A probabilistic proof of Meir-Moon theorem

Víctor J. Maciá
Washington University in St. Louis
Cover for TEMat monográficos, 2 (2021): Proceedings of the 3rd BYMat Conference

Publicado 28/08/2021

Palabras clave

  • Khinchin families,
  • probability,
  • Meir-Moon,
  • Lagrange's equation,
  • local central limit theorem,
  • asymptotic analysis,
  • analytic combinatorics
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Cómo citar

Maciá, Víctor J.. «A probabilistic proof of Meir-Moon theorem». En: TEMat monográficos, 2 (2021): Proceedings of the 3rd BYMAT Conference, págs. 7-10. ISSN: 2660-6003.URL: https://temat.es/monograficos/article/view/vol2-p7.

Resumen

En este trabajo presentamos una prueba probabilística del teorema de Meir-Moon. Este teorema da una fórmula asintótica para los coeficientes de la solución de la ecuación de Lagrange. Sea $\psi$ una función analítica en un disco alrededor de $z = 0$, con coeficientes no negativos, y $f(z) = z\psi(f(z)) = \sum_{n \geq 0}a_n z^n$ la ecuación de Lagrange con dato $\psi$. Bajo ciertas condiciones sobre $\psi$, los coeficientes de $f$ satisfacen la fórmula asintótica  \[ a_n \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{\tau \psi(\tau)^n}{\sigma_{\psi}(\tau)}\frac{1}{n^{3/2}\tau^n}, \quad \text{ cuando } n \rightarrow \infty, \] para cierto $\tau > 0$. En esta demostración no utilizamos métodos de punto de silla, los ingredientes son las familias de Khinchin combinadas con cierto teorema local central del límite para variables aleatorias reticulares. Esto está basado en un trabajo conjunto con José L. Fernández (Universidad Autónoma de Madrid).