Vol. 3 (2021): Actas del VIII Encuentro de Jóvenes Topólogos
Artículos

El espacio de deformaciones de variedades tridimensionales hiperbólicas orientables

Juan Luis Durán Batalla
Universitat Autònoma de Barcelona

Publicado 19/12/2021

Palabras clave

  • variedad tridimensional hiperbólica,
  • triangulación ideal

Cómo citar

Durán Batalla, Juan Luis. «El espacio de deformaciones de variedades tridimensionales hiperbólicas orientables». En: TEMat monográficos, 3 (2021): Actas del VIII Encuentro de Jóvenes Topólogos, págs. 41-55. ISSN: 2660-6003.URL: https://temat.es/monograficos/article/view/vol3-p41.

Resumen

Sea $M$ una variedad de dimensión $3$ hiperbólica, orientada, completa y de volumen finito. El problema que nos planteamos es encontrar las métricas hiperbólicas obtenidas deformando una fijada. Para ello, trabajaremos con variedades que se puedan triangular mediante un número finito de tetraedros ideales, \emph{i.e.}, topológicamente sin vértices. La existencia de una triangulación permite deformar la métrica original de un modo muy sencillo: recordando el patrón de pegado de los tetraedros, podemos modificarlos individualmente y pedir que se cumplan unas condiciones que garanticen un \emph{buen} pegado. El conjunto de posibles parámetros para los tetraedros que cumplen estas condiciones se conoce como el espacio de deformaciones de la variedad. Thurston demostró que dicho espacio de deformaciones en torno a la métrica completa se puede parametrizar por un abierto de $\overline{\mathbb{C}}^k$, donde $k$ es el número de \emph{cúspides} o clases de vértices (suprimidos) en la triangulación. El resultado de Thurston es independiente de la triangulación fijada, debido a que el número de cúspides es un concepto topológico. Estas notas pretenden dar una idea de las nociones básicas que son necesarias para demostrar y entender el resultado anterior.