On unique-extension renormings

Resumen

E. Oja, T. Viil, and D. Werner probaron que todo espacio de Banach débilmente compactamente generado que tenga una norma con la propiedad de que todo funcional lineal y continuo en $X$ tenga una única extensión de Hahn-Banach a su bidual $X^{**}$ (es decir, "$X$ tiene la propiedad U en $X^{**}$", en la terminología de R. R. Phelps) puede ser renormado para tener la propiedad más fuerte de que todo funcional lineal y continuo definido en cualquier subespacio lineal de $X$ tiene una única extensión de Hahn-Banach a $X^{**}$ (lo que se conoce como total suavidad de $X$). Probamos que, gracias a un profundo teorema de M. Raja, se puede obtener una versión incluso más fuerte del resultado anterior sin ninguna condición adicional en el espacio $X$ (es decir, omitiendo "débilmente compactamente generado" en el enunciado). Reproducimos el resultado y proponemos algunas extensiones usando el concepto de suavidad Hahn-Banach débil del espacio. Esto está parcialmente basado en un trabajo conjunto con A. J. Guirao y V. Montesinos.