Character varieties of torus knots

Resumen

Asociado a cada espacio topológico $X$ tenemos su variedad de caracteres. Esta es una variedad algebraica que parametriza las clases de isomorfismo de representaciones $\pi_1(X) \to G$ del grupo fundamental de $X$ en un grupo algebraico reductivo $G$. Estos espacios resultan especialmente útiles en teoría de nudos clásica, pues proveen de invariates muy sutiles de nudos $K \subset \mathbb{R}^3$ al tomar $X=\mathbb{R}^3-K$. A pesar de esta importancia, incluso en los casos más simples el entendimiento completo de estas variedades de caracteres es un problema abierto. En este artículo, calculamos el motivo de la variedad de caracteres irreducible de representaciones del grupo fundamental de un nudo toroidal arbitrario en $G=SL_4(k)$. Para este fin, introducimos una estratificación de la variedad en términos del tipo de una filtración canónica asociada a cada representación. Esto permite reducir el cálculo de la clase virtual a un problema puramente combinatorio.